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UNI Ordinario 2025-I
Geometría del Espacio

En un tetraedro regular ABCD, M es punto medio de BC y en la altura DH del tetraedro se ubica el punto L. Si AL=DH, entonces m∠HLM es:

A) arc tan 1/3
B) 45°
C) arc tan 1/2
D) 30°
E) 36°

Solución

Paso 1: Asignación de valores inteligentes

Para evitar fracciones, aprovechamos la propiedad del baricentro en la base. Sabemos que el baricentro divide a la altura en relación de 2 a 1:

  • Asignamos
  • Asignamos
  • Esto nos da una altura de base total de .

Paso 2: Hallar la arista del tetraedro (Triángulo notable 30°-60°)

En la base triangular equilátera, la altura mide . Usamos el triángulo notable de 30° y 60°:

  • El cateto frente a 60° mide . Aquí, , por lo que .
  • La hipotenusa (arista del tetraedro) es .
  • Por tanto, la arista mide .

Paso 3: Calcular la altura del tetraedro (DH)

Aplicamos Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la altura y una arista ():

Paso 4: Hallar el cateto vertical HL

El problema nos dice que , por lo que . Ahora, usamos Pitágoras en el triángulo interior punteado :

Paso 5: Calcular el ángulo x

Finalmente, nos ubicamos en el triángulo sombreado :

  • Cateto Opuesto (HM) =
  • Cateto Adyacente (HL) =

Calculamos la tangente:

Correcta

¿Qué es el baricentro en la gráfica?

Gallito AI

¡Excelente pregunta! El baricentro (H) es donde se cruzan las tres medianas del triángulo de la base.

Propiedad clave: El baricentro divide cada mediana en proporción 2:1 desde el vértice. En este problema:
• AH = 2a (la parte más larga, desde el vértice A)
• HM = a (la parte más corta, hasta el punto medio M)

Al usar esta proporción, todos los cálculos salen con números enteros sin fracciones complicadas. Fíjate en el gráfico cómo esta relación 2:1 aparece naturalmente en la altura de la base del tetraedro.

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